O-minimality as an Approach to the André-oort Conjecture

— Employing a proof technique suggested by Zannier and first successfully implemented by Pila and Zannier to give a reproof of the Manin-Mumford conjecture on algebraic relations on torsion points of an abelian variety, Pila presented an unconditional proof of the André-Oort conjecture when the ambient Shimura variety is a product of modular curves. In subsequent works, these results have been extended to some higher dimensional Shimura and mixed Shimura varieties. With these notes we expose these methods paying special attention to the details of the Pila-Wilkie counting theorem. Résumé (O-minimalité et André-Oort). — Utilisant une technique de preuve suggérée par Zannier et utilisé par Pila et Zannier à prouver la conjecture de ManinMumford sur les relations algébriques sur les points de torsion d’une variété abélienne, Pila a présenté une preuve inconditionnelle de la conjecture de André-Oort quand la variété de Shimura ambiante est un produit de courbes modulaires. Ces résultats ont été étendus à certaines autres variétés de Shimura et variétés de Shimura mixtes. Ici, nous exposons ces méthodes en accordant une attention particulière aux détails du théorème de comptage de Pila et Wilkie.